المشتقات الضعيفة ودوروها في بناء فضاءات سوبوليف

الملخص

تدرس هذه الورقة المشتقات الضعيفة كتعميم للمشتقات الكلاسيكية، عن طريق دوال الاختبار وفضاءات  نثبت أن المشتقات الضعيفة تطابق المشتقات الكلاسيكية للدوال الناعمة، ونبرهن وحدانيتها عدا على مجموعات ذات قياس صفر. كما نوضح عبر أمثلة علمية أن المشتقات الضعيفة تكون موجودة عندما يفشل الاشتقاق الكلاسيكي، ونبين ان عدم الاستمرارية قد تمنع وجود المشتقة الضعيفة. بعد ذلك نعرف فضاءات سوبوليف بأنها فضاءات دوال  التي تنتمي مشتقاتها الضعيفة أيضا الى ،  ونثبت أنها فضاءات باناخ. وأخيرا نتوصل الى أن المشتقات الضعيفة تحافظ على الخصائص الأساسية للمشتقات الكلاسيكية (مثل خاصية الخطية وقاعدة ليبينز) تحت فرضيات بسيطة.